11.04 수업 정리

4. Generalized Least Square

 

오차항이 이분산인 모향

오차항에 이분산이 있는 모형이 있다고 하자.

오차항의 Variance-Covariance Matrix를 구하면, Identity matrix 꼴로 표현되지 않는다.

 

오차항이 이분산일 때 식을 위와 같이 변경

오차항이 동분산이 아닐 때, 식을 위와 같이 변형해준다.

새로운 오차의 분산을 구하면, 동분산 가정이 만족함을 확인할 수 있다.

 

변형된 오차항의 조건부 분산이 동분산을 따른다

오차항이 이분산일 때, 식을 적절히 변형하여 오차항이 동분산 가정을 만족하도록 한다.

그리고 이 모형에 대한 OLS 추정량이 GLS estimator이다.

 

 

만약 오메가 행렬이 Identity 행렬이라면, OLS 추정량이 됨. 

결국 GLS가 OLS보다 더 넓은 개념임.

특정 조건 하에서의 GLS가 바로 OLS이다.

 

이분산의 다양한 형태

이분산에 다양한 형태가 존재한다.

potential use of wrong sets of weights가 있을 수 있고,

따라서 GLS 추정량이 정확하지 않을 가능성이 있다.

 

GLS 추정량의 특징

 

 

Q*는 definite이고 positive definite하며 Full Rank를 지니는 대칭행렬이다.

 

GLS 추정량은 모수에 대한 일치추정량이다.

 

오차항에 이분산이 존재하므로 OLS 추정량은 가우스-마코프 정리가 성립되지 않는다.

OLS 추정량은 선형이고 일치주정량이지만,

더 작은 분산을 가지는 다른 추정량(GLS)이 존재하므로

BLUE가 아니다.

즉, GLS estimator는 BLUE다.

 

FGLS

 

실제론 오메가 행렬을 정확히 알 수 없다.

따라서 오메가 행렬을 추정하게 되는데, FGLS를 위해 일치성이 있는 추정량을 택하게 된다.

 

근데 필기는 이렇게 되어 있는데, 내 생각엔 조금 이상하다.

 

White 이분산에 강건한 estimator의 경우처럼 이럴 때 FGLS가 일치성이 있는 거 아닐까.

엄밀하게 말해서?

 

n^{1/2}-consistent estimator가 같다면 FGLS에도 일치성이 있을 것임.

 

http://what-when-how.com/social-sciences/generalized-least-squares-social-science/

GENERALIZED LEAST SQUARES (Social Science)

 

잔차항의 제곱을 이용해 오메가 햇을 만들어서 쓰기도??

 

 

 

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Ch 20. Seirial Correlation

 

1. Simple Model