오차항의 표본분산의 일치성 증명

Q는 finite하고 positive definite하며 Full Rank를 가지는 대칭행렬임

 

X: a data matrix with full-colum rank k

k: # of regressors including a constant term

 

여기서 소문자 x' 벡터는 data matrix X의 1행임.

즉, 행벡터이다.

x는 그 전치행렬이므로 열벡터임.

 

LLN에 의해, 표본평균 (1/n)*시그마 꼴은 모평균으로 확률수렴한다.

LLN을 쓴다는 것은 데이터 변수들의 iid가 암묵적으로 가정되어 있음을 뜻함.

 

분산 추정량의 성분 e'e의 분해

 

LLN를 이용하기 위해, 분산의 불편추정량의 꼴을 변형함

<Part 1>

<Part 2>

<Part 3>

여기서 수렴하는 0은 스칼라가 아니라 행렬 혹은 벡터임.

벡터 x1의 사이즈가 nx1이므로, nx1의 사이즈를 지닌 영벡터로 수렴한다.

 

조건부 평균이 0이면, 그 ireterated expectation도 0이다.

 

 

수열의 확률수렴

수열 an이 상수로 수렴하면, 그 수열은 상수로 확률수렴한다.

 

확률수렴 간 사칙연산이 성립한다.

따라서 s^2는 모분산으로 확률수렴한다.