11월 20일 계량

\\\begin{align*}
\varepsilon_t &=\rho \varepsilon_{t-1}+u_t \\ 
 &= u_t+\rho u_{t-1}+\rho^2 u_{t-2}+\rho^3 u_{t-3}+\cdots +\rho^{\infty}u_{t-\infty}\\ 
 &=\sum_{s=0}^{\infty}\rho^s u_{t-s} \\ 
\end{align*}

\\

\begin{align*}
E[\varepsilon_t] &=E[\sum_{s=0}^{\infty}p^s u_{t-s}]\ \\ 
 &=\sum_{s=0}^{\infty}p^sE[u_{t-s}] \\ 
 &=0 \\ 
\end{align*}

 

\begin{align*}
Cov(\varepsilon_t, \varepsilon_{t-1}) &=E[\varepsilon_t\varepsilon_{t-1}] \\ 
 &=E[(\rho\varepsilon_{t-1}+u_t)\varepsilon_{t-1}]\\ 
 &=E[\rho \varepsilon_{t-1}^2+u_t\varepsilon_{t-1}] \\ 
 &=\rho Var(\varepsilon_t)+Cov(u_t,\varepsilon_{t-1}) \\ 
 &=\rho Var(\varepsilon_t) +Cov(u_t,\sum_{s=0}^\infty \rho^s u_{t-1-s)}\\ 
 &=\rho Var(\varepsilon_t)+0 \\ 
 &=\frac{\rho\sigma^2_u}{1-\rho^2}
\end{align*}

 

\begin{align*}
Cov(\varepsilon_t,\varepsilon_{t-2}) &= E[\varepsilon_t \varepsilon_{t-2}] \\
 &=E[\sum_{s=0}^{\infty}\rho^s u_{t-s}\sum \rho^su_{t-s-2}] \\ 
 &=E[(u_t+\rho u_{t-1}+\rho^2 u_{t-2}\cdots )(u_{t-2}+\rho u_{t-3}+\cdots )] \\ 
 &=\sum^{\infty}_{s=2} \rho^{2s-2}E[u^2_{t-s}]\\ 
 &=\sigma^2_u \times \frac{\rho^2}{1-\rho^2}\\ 
\end{align*}